将简单的指数衰减曲线拟合到数据。

从指数衰减模型加上噪声生成数据。模型是

具有 $$T$$从0到3，以及 $$\mathrm{\epsilon .}$$正态分布噪声，平均值为0，标准偏差为0.05。

rng默认的%的再现性d = linspace（0,3）;Y = exp（-1.3 * d）+ 0.05 * randn（尺寸（d））;

问题是:给定数据(D,Y)，找到最适合数据的指数衰减率。

创建一个匿名函数，占据指数衰减率的值 $$R$$然后返回一个向量，表示模型与衰减率和数据之间的差异。

Fun = @（r）exp（-d * r）-y;

找出最优衰减率的值。任意选择一个初始猜想x0= 4.

x0 = 4;x0, x = lsqnonlin(有趣)

可能的局部最小值。lsqnonlin停止，因为平方和相对于其初始值的最终变化小于函数公差值。

x=1.2645

绘制数据和最合适的指数曲线。

绘图（D，Y，“柯”，d，exp（-x*d），“b -”)传奇('数据',“最适合”)xlabel(“不”)伊拉贝尔(“exp (tx)”)

当某些拟合参数有界时，找到最佳拟合模型。

找到一个定心 $$B$$和缩放 $$\mathrm{A.}$$最适合功能

到标准法向密度，

创建矢量T以及这些点的相应正态密度。

t = linspace（-4,4）;y = 1 / sqrt（2 * pi）* exp（-t。^ 2/2）;

创建一个函数，用于计算居中函数和缩放函数与法线之间的差异Y具有x（1）作为比例 $$\mathrm{A.}$$和x（2）作为中心 $$B$$．

Fun = @(x)x(1)*exp(-t).*exp(- x(2)))) - y);

从开始寻找最优匹配x0=[1/2,0]，具有缩放功能 $$\mathrm{A.}$$在1/2和3/2之间，定心 $$B$$在-1和3之间。

磅= [1/2,1];乌兰巴托= (3/2,3);x0 = (1/2, 0);x=lsqnonlin（乐趣、x0、磅、磅）

可能的局部最小值。lsqnonlin停止，因为平方和相对于其初始值的最终变化小于函数公差值。

x=1×20.8231 -0.2444

绘制这两个函数以查看拟合的质量。

绘图（t，y，'r-'t有趣(x) + y,“b -”)xlabel(“不”)传奇(“正常密度”,的拟合函数)

使用不同的方法时，比较数据拟合问题的结果解非线性最小二乘问题算法。

假设你有观测时间的数据xdata.以及观察到的反应数据伊达塔，并且您想找到参数 $$x(1.)$$和 $$x(2.)$$以适应模型的形式

输入观察时间和响应。

xdata =．..[0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 60.3 74.6 81.3];ydata =．..[455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 -0.4 -1.3 -1.5];

创建一个简单的指数衰减模型。该模型计算预测值和观测值之间的差值向量。

fun=@（x）x（1）*exp（x（2）*扩展数据）-ydata；

使用起点拟合模型x0=[100，-1]．首先，使用默认值“trust-region-reflective”算法。

x0=[100，-1]；选项=最佳选项(@lsqnonlin,“算法”,“trust-region-reflective”）;x = lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项)

可能的局部最小值。lsqnonlin停止，因为平方和相对于其初始值的最终变化小于函数公差值。

x=1×2498.8309 -0.1013

查看使用“levenberg-marquardt算法。

选项。算法='levenberg-marquardt'；x=lsqnonlin（趣味、x0、[]、[]、选项）

局部最小值。Lsqnonlin停止的原因是当前步长的相对大小小于步长公差的值。

x=1×2498.8309 -0.1013

这两种算法找到了相同的解决方案。绘制解决方案和数据。

情节(xdata ydata,“柯”)举行在…上tlist=linspace（扩展数据（1），扩展数据（end））；plot（tlist，x（1）*exp（x（2）*tlist），“b -”）Xlabel.xdata.伊拉贝尔伊达塔标题（“指数拟合数据”)传奇('数据',“指数拟合”)举行从

找出 $$x$$这最小化

$$\underset{K=1.}{\overset{1.0}{\sum }}{\left(2.+2.K-E^{K{x}_{1.}}-E^{K{x}_{2.}}\right)}^{2.}$$,

求最小平方和的值。

因为解非线性最小二乘问题假设平方和不是在用户定义的函数中显式形成的，函数传递给解非线性最小二乘问题应该改为计算向量值函数

$$F_K(x)=2.+2.K-E^{K{x}_{1.}}-E^{K{x}_{2.}}$$,

为 $$K=1.$$到 $$1.0$$（即， $$F$$应该有 $$1.0$$组件）。

这个我的乐趣计算10分量向量F的函数出现在此示例的结尾．

求最小值点和最小值，从这个点开始x0=[0.3,0.4]．

x0=[0.3,0.4]；[x，resnorm]=lsqnonlin（@myfun，x0）

局部最小值。Lsqnonlin停止，因为当前步长小于步长公差的值。

x=1×20.2578 - 0.2578

Resnorm = 124.3622

这个重新规范输出是残差范数的平方，即函数值的平方和。

下面的函数计算向量值目标函数。

函数F = myfun(x) k = 1:10;F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));终止

在解决过程发生时(通过设置陈列选择“国际热核实验堆”)，然后(通过检查输出结构)。

假设你有观测时间的数据xdata.以及观察到的反应数据伊达塔，并且您想找到参数 $$x(1.)$$和 $$x(2.)$$以适应模型的形式

输入观察时间和响应。

xdata =．..[0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 60.3 74.6 81.3];ydata =．..[455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 -0.4 -1.3 -1.5];

创建一个简单的指数衰减模型。该模型计算预测值和观测值之间的差值向量。

fun=@（x）x（1）*exp（x（2）*扩展数据）-ydata；

使用起点拟合模型x0=[100，-1]．通过设置。检查解决过程陈列选择“国际热核实验堆”．获得一个输出结构以获取有关解决方案过程的更多信息。

x0=[100，-1]；选项=最佳选项(“lsqnonlin”,“显示”,“国际热核实验堆”）;[x, resnorm残留,exitflag,输出]= lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项);

一阶迭代范数function -count f(x) step最优性0 3 359677 2.88e+04目标函数返回Inf;尝试一个新的观点…1 6 359677 11.6976 - 2.88 e + 04 2 9 321395 0.5 4.97 4.97 e + e + 04年3 321395 1 04 4 15 292253 0.25 - 7.06 e + 04 5 18 292253 0.5 - 7.06 e + 04 21 270350 24 270350 0.25 1.15 0.125 1.15 e + 05年7 e + 05年8 27 252777 0.0625 - 1.63 e + 05年9 30 252777 0.125 - 1.63 e + 05年10 33 243877 0.03125 - 7.48 e + 04年11 36 243660 0.0625 - 8.7 e + 04 12 39 243276 0.0625 - 2 e + 04 13 42 243174 0.0625 - 1.14 e + 04 1445 242999 0.125 - 5.1 e + 03 15 48 242661 0.25 - 2.04 e + 03 16 51 241987 1.04 0.5 1.91 e + 03 17 54 240643 1 e + 03 18 57 237971 2 3.36 e + 03 19 60 232686 4 6.04 e + 03 20 63 222354 8 1.2 e + 04 21 66 202592 16 2.25 e + 32 04 22 69 166443 4.05 6.68 e + e + 04 23 72 106320 64 24 75 28704.7 128 8.31 e + 04 04 25 78 89.7947 140.674 2.22 e + 04 26 81 9.50489 9.57381 2.02599 684 27 840.0114局部最小可能。Lsqnonlin停止的原因是相对于初始值的平方和的最终变化小于函数的容差值。

检查输出结构以获取有关解决方案过程的更多信息。

输出

输出=带字段的结构：FirstOrderopt：0.0114迭代：28 Funccount：87 Cgiteration：0算法：'信任区域 - 反光'步骤：4.6226E-04消息：'...'

为了比较，设置算法选择'levenberg-marquardt'．

选项。算法='levenberg-marquardt'；[x, resnorm残留,exitflag,输出]= lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项);

迭代一阶范数函数计数残差最优性Lambda step 0 3 359677 2.88e+04 0.01目标函数返回Inf;尝试一个新的观点…1 100000 0.280777 340761 3.91 e + 04 2 16 304661 5.97 e + 04 10000 0.373146 297292 6.55 e + 21 04 288240 e + 06 0.0589933 - 4 24 7.57 e + 28日04 100000 0.0645444 275407 1.01 e + 05 06年1 e + 0.0741266 6 31 249954 1.62 e + 05 100000 0.094571 245896 36 1.35 e + 05年1 e + 0.0133606 07年8 39 243846 7.26 e + 04 1 e + 06年9 42 243568 5.66 0.00944311 0.00821621 e + 04 100000 45 2434241.61 e + 04 10000 0.00777935 243322 8.8 e + 03年11 48 1000 0.0673933 242408 5.1 e + 51 03 100 0.675209 233628年54 13日1.05 e + 04 10 6.59804 169089 8.51 e + 57 04 1 54.6992 15 60 30814.7 1.54 e + 05年0.1 196.939 63 147.496 8 e + 03 0.01 129.795 66 9.51503 117 0.001 9.96069 18 19 69 9.50489 0.0714 0.0001 0.080486 72 9.50489 5.07033 4.91 e-05 1 e-05 e-05当地最小的可能的。Lsqnonlin停止的原因是当前步长的相对大小小于步长公差的值。

这个'levenberg-marquardt'收敛时迭代次数较少，但函数求值次数几乎相同：

输出

输出=带字段的结构：cgiterations: 19 funcCount: 72 stepsize: 5.0703e-05 cgiterations: [] firstderopt: 4.9122e-05 algorithm: 'levenberg-marquardt' message: '…'