连续和离散小波变换- MATLAB和Simulink万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

连续和离散小波变换

本主题介绍连续小波变换(CWT)和离散小波变换(DWT)之间的主要区别——包括抽取和非抽取两种形式。类是CWT的一个离散版本，因此它可以在计算环境中实现。本文主要讨论一维情况，但也适用于高维情况。

的类小波变换将信号与基本小波的移位和缩放(拉伸或收缩)副本进行比较。如果 $ψ （ t ）$ 小波是否以点为中心t = 0有时间支持万博1manbetx(- T / 2, T / 2),然后 $\frac{1}{年代} ψ （ \frac{t - u}{年代} ）$ 集中在t = u随着时间的支持万博1manbetx[- / 2 + u, sT / 2 + u)．的类函数使用L1归一化，使所有频率振幅归一化为相同的值。如果0 < s < 1时，小波被压缩(收缩)s > 1时，小波被拉伸。数学术语是膨胀。看到连续小波变换与尺度分析举例说明该操作如何通过将信号与扩展和翻译的小波进行匹配来提取信号的特征。

连续小波变换和离散小波变换的主要区别，如dwt和modwt，就是尺度参数如何离散化。CWT比离散小波变换更精细地离散尺度。在CWT中，你通常会固定一些碱基，比如2的分数次幂， $2^{1 / v}$ 在哪里v是大于1的整数。的v参数通常指的是“每个八度音阶的声音数”。例如，通过将基数提升到正整数幂，可以得到不同的比例 $2^{j / v} j ＝ 1 ， 2 ， 3. ，．..$ ．将CWT中的平移参数离散为整数值，这里表示为米．得到的离散小波为CWT

$\frac{1}{2^{j / ν}} ψ （ \frac{n - 米}{2^{j / v}} ）．$

的原因v是指每个八度音阶的声音数是因为音阶增加一个八度(加倍)需要吗v中间尺度。举个例子 $2^{v / v} ＝ 2$ 然后增加指数的分子直到4，下一个八度。你从 $2^{v / v} ＝ 2$ 来 $2^{2 v / v} ＝ 4$ ．有v中间步骤。共同的价值观,v分别是10、12、14、16和32。值越大v，尺度参数的离散化越精细，年代．然而，这也增加了所需的计算量，因为CWT必须针对每个尺度进行计算。在一个日志₂规模是1 / v．看到CWT-Based时频分析和调制信号的连续小波分析例如CWT的比例向量。

在离散小波变换中，尺度参数总是离散为2的整数次幂，2^jj = 1, 2, 3,…，所以每个八度音阶的声音数总是1。在一个日志₂对于离散小波变换，尺度总是1。注意，这是一个更粗略的比例参数抽样，年代而CWT的情况则不同。此外，在抽取(下采样)离散小波变换(DWT)中，平移参数总是与尺度成正比。这意味着在规模上，2^j，你总是翻译的2^j米在哪里米为非负整数。在非抽取离散小波变换中modwt和swt，尺度参数被限制为2的幂，但平移参数是一个整数，就像CWT。DWT的离散小波形式如下

$\frac{1}{\sqrt{2^{j}}} ψ （ \frac{1}{2^{j}} （ n - 2^{j} 米））．$

非抽取离散小波变换(如MODWT)的离散小波为

$\frac{1}{\sqrt{2^{j}}} ψ （ \frac{n - 米}{2^{j}} ）．$

总结:

小波变换和离散小波变换在尺度参数离散化的方式上有所不同。例如，CWT通常使用基数小于2的指数刻度2^1／12．离散小波变换总是使用底为2的指数尺度。离散小波变换的尺度是2的幂。请记住，CWT和离散小波变换对尺度的物理解释都要求包含信号的采样间隔(如果它不等于1)。例如，假设您正在使用CWT，并将您的基设置为 ${年代}_{0} ＝ 2^{1 / 12}$ ．为了给这个尺度赋予物理意义，你必须乘以采样间隔 $Δ t$ ，则考虑采样间隔，覆盖约四个八度音阶的尺度向量为 ${年代}_{0}^{j} Δ t j ＝ 1 ， 2 ， \dots 48$ ．请注意，采样间隔乘以尺度，它不在指数中。对于离散小波变换，基尺度总是2。
抽取和非抽取的离散小波变换的不同之处在于它们如何离散平移参数。抽取的离散小波变换(DWT)，总是以尺度的整数倍来转换，2^j米．非抽取离散小波变换通过整数移位进行转换。

这些在尺度和平移离散方式上的差异决定了这两类小波变换的优缺点。这些差异还决定了在哪些情况下小波变换可能提供更好的结果。尺度和平移参数离散化的一些重要结果是:

小波变换为许多自然信号提供了稀疏表示。换句话说，许多自然信号的重要特征是由DWT系数的一个子集捕获的，这个子集通常比原始信号小得多。这就“压缩”了信号。对于DWT，你总是会得到与原始信号相同数目的系数，但许多系数的值可能接近于零。因此，您经常可以丢弃这些系数，而仍然保持高质量的信号近似。使用CWT，你从N个样本的N长度信号到一个M × N的系数矩阵M等于刻度数。CWT是一种高度冗余的转换。在每个尺度上的小波之间以及尺度之间有显著的重叠。计算CWT和存储系数所需的计算资源要比DWT大得多。非抽取的离散小波变换也是冗余的，但冗余系数通常比CWT小得多，因为尺度参数没有被很好地离散。 For the nondecimated discrete wavelet transform, you go from N samples to an L+1-by-N matrix of coefficients wherel是转换的级别。
小波变换中尺度和平移的严格离散化确保了小波变换是标准正交变换(当使用正交小波时)。在信号分析中，标准正交变换有许多优点。许多信号模型是由一些确定性信号加上高斯白噪声组成的。标准正交变换对这种信号进行处理，输出信号加上白噪声的变换。换句话说，标准正交变换吸收高斯白噪声，输出高斯白噪声。噪声在输入和输出处是不相关的。这在许多统计信号处理设置中是很重要的。在DWT的情况下，感兴趣的信号通常由几个大幅度DWT系数捕获，而噪声会产生许多可以丢弃的小DWT系数。如果你学过线性代数，毫无疑问你会学到在向量的分析和表示中使用标准正交基的许多优点。DWT中的小波类似于标准正交向量。 Neither the CWT nor the nondecimated discrete wavelet transform are orthonormal transforms. The wavelets in the CWT and nondecimated discrete wavelet transform are technically called frames, they are linearly-dependent sets.
DWT不是移位不变的。由于小波变换向下采样，输入信号的位移并不表现为所有级别的小波变换系数的简单等效位移。一个简单的信号移位可以引起信号能量在小波变换系数中按比例的重大调整。CWT和非抽取离散小波变换是平移不变的。有一些小波变换的修改，如双树复离散小波变换，减轻了小波变换中移位不变性的不足，见严格采样和过采样小波滤波器组关于这个主题的一些概念性材料双树复小波变换了一个例子。
离散小波变换等价于离散滤波器组。具体来说，它们是树形结构的离散滤波器组，其中信号首先被低通和高通滤波器滤波，以产生低通和高通子带。随后，低通子带被相同的方案迭代滤波，以产生更窄的倍频带低通和高通子带。在小波变换中，滤波器输出在每个后续阶段都向下采样。在非抽取离散小波变换中，输出不进行下采样。定义离散小波变换的滤波器通常只有少量的系数，因此变换可以非常有效地实现。对于DWT和非抽取离散小波变换，实际上不需要小波表达式。过滤器就足够了。这不是CWT的情况。CWT最常见的实现要求明确定义小波。 Even though the nondecimated discrete wavelet transform does not downsample the signal, the filter bank implementation still allows for good computational performance, but not as good as the DWT.
离散小波变换在信号反演时提供了完美的重构。这意味着您可以对信号进行离散小波变换，然后使用系数来合成信号的精确再现，以达到数值精度。您可以实现反CWT，但通常情况下重构并不完美。从CWT系数重建信号是一个不太稳定的数值操作。
CWT中更精细的尺度采样通常会导致更高保真度的信号分析。你可以定位信号中的瞬态，或者用CWT比用离散小波变换更好地描述振荡行为。

有关小波变换和应用的更多信息，请参见

连续小波变换与离散小波变换指南

基于前一节，这里有一些基本的指导原则，用于决定是使用离散小波变换还是连续小波变换。

如果您的应用程序要为压缩、去噪或信号传输获得尽可能稀疏的信号表示，则使用DWTwavedec．
如果您的应用程序需要一个标准正交变换，请使用带有一个正交小波滤波器的DWT。小波工具箱中的正交族在小波管理器中被指定为1型小波，wavemngr．有效的内建正交小波族是“哈雾”，“dbN”，“fkN”，“coifN”,或“symN”其中N是所有家庭消失时刻的数量，除了“颗”．为“颗”， N为滤波系数的个数。看到waveinfo更多的细节。
如果您的应用程序需要移位不变变换，但您仍然需要完美的重构和一些计算效率的度量，请尝试像这样的非小数离散小波变换modwt或者是双树变换dualtree．
如果您的主要目标是详细的时频(比例)分析或信号瞬变的精确定位，请使用类．有关使用CWT进行时频分析的示例，请参见CWT-Based时频分析．
用阈值小波系数对信号去噪，使用wdenoise函数或小波信号降噪应用程序。wdenoise和小波信号降噪提供可应用于数据的默认设置，以及用于各种去噪方法的简单接口。有了这款应用，你可以对信号进行可视化和降噪，并对结果进行比较。有关信号去噪的例子，请参阅使用默认值去噪信号和用小波信号去噪对信号去噪．对于去噪图像，使用wdenoise2．例如，请参见信号和图像去噪．
如果您的应用程序需要您对小波系数的统计特性有充分的了解，那么可以使用离散小波变换。在理解连续小波变换的统计特性方面有很多积极的工作，但目前对于离散小波变换的分布结果更多。小波变换在去噪方面的成功很大程度上归功于我们对其统计特性的理解。有关使用非抽取离散小波变换的估计和假设检验的例子，请参阅金融数据的小波分析．

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