解决方形线性系统使用tfqmr使用默认设置，然后调整解决方案流程中使用的容忍度和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个密度为50％。还创建一个随机向量b右边的 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

rng.默认的5 = sprand (400400);=“*;b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用tfqmr．输出显示包括相对残差误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

x = tfqmr (A, b);

TFQMR在迭代40处停止而不会聚到所需的公差1E-06，因为达到了最大迭代次数。返回的iterate(编号13)的相对残差为0.3。

默认情况下tfqmr使用40次迭代和公差1 e-6，算法在这40次迭代中无法收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指示，说明需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的容忍度，以使算法更容易收敛。

用容差再次解系统1的军医和100的迭代。

x = tfqmr (A, b, 1 e - 4100);

由于达到了最大迭代次数，TFQMR在迭代200时停止，没有收敛到期望的公差0.0001。返回的iterate(编号13)的相对残差为0.3。

即使具有宽松的公差和更多的迭代，剩余错误也不会改善太多。当以这种方式停止迭代算法停止时，它是需要预处理器矩阵的良好指示。

计算的不完全Cholesky分解一个，并使用L'作为预处理输入的因子tfqmr．

l = iChol（a）;X = TFQMR（A，B，1E-4,100，L'）;

TFQMR在迭代32时收敛到一个相对残差为5.2 -05的解。

使用预处理器提高了问题的数值tfqmr能够收敛。

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果tfqmr解决线性系统。

加载west0479，一个实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

负载West0479.A = West0479;

定义b所以真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$是所有的矢量。

b = sum（a，2）;

设置容差和最大迭代次数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

用tfqmr在请求的容忍和迭代次数上找到解决方案。指定五个输出以返回有关解决方案过程的信息：

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = tfqmr (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

RR0.

RR0 = 0.9845.

it0

it0 = 10

fl0是1,因为tfqmr不收敛到所要求的容忍度1 e-12在请求的20次迭代中。第十次迭代是最好的近似解决方案，并且是如此返回的解决方案it0 = 10．

为了帮助缓慢的收敛，您可以指定一个预处理器矩阵。自从一个非对称,使用ilu生成预处理器 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定删除容差，以忽略小于的值1 e-6．解预处理系统 $\mathit{一个}{\mathit{米}}^{-1}\mathit{米}\mathit{x}＝\mathit{b}$通过指定l和U作为输入tfqmr．

设置=结构('类型','ilutp','droptol'，1E-6）;[l，u] = ilu（a，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1] = TFQMR（A，B，TOL，MAXIT，L，U）;FL1.

fl1 = 0.

RR1.

RR1 = 4.3298E-14

it1

IT1 = 3.

使用ilu预处理器产生比规定的耐受性更少1 e-12在第三次迭代。输出RV1（1）是规范（b），输出rv1(结束)是规范(b * x1)．

你可以跟着进度tfqmr通过在每次迭代时绘制相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史，具有指定公差的线。注意bicgstab,tfqmr跟踪一半迭代。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”） 抓住在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇（“没有预调节器”,'ilu preconditcher','宽容','地点','东'）Xlabel（'迭代号'）ylabel（“相对残差”）

检查供应的效果tfqmr初步猜测解决方案。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

n = 900;e =那些（n，1）;a = spdiags（[e 2 * e e]， -  1：1，n，n）;b = sum（a，2）;

用tfqmr来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两种解决方案使用200次迭代和默认容忍。万博 尤文图斯指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于的向量0.99．

麦克斯特= 200;x1 = tfqmr (A, b,[],麦克斯特);

TFQMR在迭代19时收敛到一个相对残差为9.6e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = tfqmr（a，b，[]，maxit，[]，[]，x0）;

TFQMR在迭代4时收敛到一个相对残差为7.9e-07的解。

在这种情况下，提供初始猜测启用tfqmr更快地聚合。

x0 =零（尺寸（a，2），1）;tol = 1e-8;maxit = 100;为k = 1：4 [x，标志，relres] = tfqmr（a，b，tol，maxit，[]，[]，x0）;x（：，k）= x;r（k）= resrres;x0 = x;结束

通过提供解一个线性方程组tfqmr使用计算的函数句柄斧头代替系数矩阵一个．

由威尔金森测试矩数之一产生画廊是一个21×21个三角形矩阵。预览矩阵。

一个=画廊('威尔克'，21）

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0121000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

威尔金森矩阵有一个特殊的结构，所以你可以表示这个操作斧头功能手柄。当一个乘以向量，得到的矢量中的大多数元素是零。结果中的非零元素对应于非零三角形元素一个．此外，仅主对角线具有不等于1的非安利斯。

表达方式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10.& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10.\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10.{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10.{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19.}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10.{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10.{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10.{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，写一个创建这些向量的函数并将它们添加在一起，从而提供值斧头：

功能y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +．..[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +．..[x（2:21）;0];结束

（此函数在示例结束时保存为本地功能。）

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供tfqmr使用计算的函数句柄斧头．使用公差1 e-12和50迭代。

b = inton（21,1）;托尔= 1 e-12;maxit = 50;x1 = tfqmr（@ afun，b，tol，maxit）

TFQMR在迭代10时收敛到一个相对残差为6.7e-15的解。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查一下afun (x1)生成一个矢量。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

功能y = afun（x）y = [0;x（1:20）] +．..[（10：-1：0）';（1:10）']。* x +．..[x（2:21）;0];结束