插话
随机微分方程的布朗插值
描述
例子
无需细化的随机插值
许多应用程序需要了解初始不可用的中间采样时间的状态向量。近似这些中间状态的一种方法是执行确定性插值。然而，确定性插值技术无法在这些中间时间捕获正确的概率分布。布朗（或随机）插值通过从条件高斯分布采样来捕获正确的联合分布。这种取样技术有时被称为布朗桥.
默认的随机插值技术被设计为插值到现有的时间序列中，并在获得额外信息时忽略新的插值状态。这种技术是插值的常用概念，称为无细化插值.
或者，插值技术可以将新的插值状态插入到后续插值所基于的现有时间序列中，这意味着细化后续插值时间的可用信息。这种技术称为精化插值.
无细化插值是一种更为传统的技术，当输入序列在时间上间隔很近时最为有用。在这种情况下，无细化插值是一种在信息缺失的情况下推断数据的好技术，但不适用于外推。有细化插值更适合当输入序列在时间上间隔很宽时，则为le，这对于外推非常有用。
随机插值方法适用于任何模型。然而，最好用常数参数布朗运动过程来说明这一点。考虑一个相关的bivariate Brownian运动BM)表格的模型：
创建一个
bm对象来表示双变量模型：μ=[0.3；0.4]；西格玛=[0.2-0.1；0.1-0.2]；rho=[10.5；0.51]；obj=bm（μ，σ，“相关性”，rho）；假设漂移(
亩)扩散(西格玛)参数按年度计算，模拟一个日历年（250个交易日）每日观测的单一蒙特卡罗试验：rng违约%使输出可复制dt=1/250；%1个交易日=1/250年[X，T]=模拟（obj，250，“德拉蒂姆”，dt）；
详细检查一个小间隔是有帮助的。
使用布朗桥插值到模拟的时间序列中：
t=（（t（1）+dt/2）：（dt/2）：（t（end）-dt/2））；x=插值（obj，t，x，《泰晤士报》，T）；绘制模拟值和插值：
图（T，X（：，1），“-r”T X (:, 2),“-b”)网格在…上持有在…上；图（t，x（：，1），“或者”，t，x（：，2），“ob”)持有关; xlabel(‘时间（年）’)伊拉贝尔(“国家”)头衔('双变量布朗运动：\rho=0.5')轴（[0.4999 0.6001 0.25 0.4]）
在该图中：
实心红点和蓝点表示二元模型的模拟状态。
连接实心点的直线表示通过确定性线性插值获得的中间状态。
开放圆表示插值状态。
与其他插值状态相关联的开放圆包围与相应模拟状态相关联的实心点。但是，每个时间增量中点处的插值状态通常偏离连接每个实心点的直线。
条件高斯分布的模拟
通过将布朗桥视为条件高斯分布的蒙特卡罗模拟，可以进一步了解随机插值的行为。
这个例子检验了布朗桥在单个时间增量上的行为。
除以长度的单个时间增量
dt分为10个子区间：μ=[0.3；0.4]；西格玛=[0.2-0.1；0.1-0.2]；rho=[10.5；0.51]；obj=bm（μ，σ，“相关性”，rho）；rng违约;%使输出可复制dt=1/250；%1个交易日=1/250年[X，T]=模拟（obj，250，“德拉蒂姆”，dt）；n=125；%接近中间的模拟状态指数时间=（T（n）：（dt/10）：T（n+1））；nTrials=25000；%#每次的试验次数
在每个子区间中，根据左侧和右侧的模拟状态，从高斯分布中提取25000个独立绘图：
平均值=零（长度（次数），1）；方差=零（长度（次数），1）；对于i=1:length（times）t=times（i）；x=interpolate（obj，t（one（nTrials，1）），...X,，《泰晤士报》，T）；平均值（i）=平均值（x（：，1））；方差（i）=var（x（：，1））；终止
绘制每个状态变量的样本均值和方差：
笔记
下图仅绘制了第一个状态变量的样本统计信息，但对任何状态变量都有类似的结果。
子批次（2,1,1）；暂停在…上网格在…上；绘图（[T（n）T（n+1）]，[X（n，1）X（n+1,1）]，“-b”)绘图（次数、平均值、，“或者”)持有关；头衔(“未经细化的布朗桥：样本平均值”)伊拉贝尔(“中庸”)限值=轴；轴（[T（n）T（n+1）限值（3:4）]；子批次（2,1,2）保持在…上网格在…上；图（T（n），0，“-b”，T（n+1），0，“-b”)绘图（时间、方差、，“-r”)持有(“关”)；头衔(“无细化的布朗桥：样本方差”)xlabel(‘时间（年）’)伊拉贝尔(“差异”)极限=轴；轴（[T（n）T（n+1）极限（3:4）]；
所选区间内的布朗插值，dt，说明了以下内容：
每个状态变量的条件平均值位于每个端点处原始模拟状态之间的直线段上。
每个状态变量的条件方差是一个二次函数。该函数在区间端点之间的中间达到最大值，并且在每个端点处为零。
最大方差，尽管取决于实际模型扩散率函数G（t，X），是以下各项总和的方差：
丁腈橡胶按因子缩放的相关高斯变量dt/4.
上一个图突出显示了插值，但没有细化，因为插值状态都不会在新信息可用时考虑新信息。如果您执行了带细化的插值，则新的插值状态将被插入到时间序列中，并可用于后续的逐试用插值。在这种情况下，任何给定插值时间的所有随机绘制都是相同的。此外，样本平均值的曲线图将表现出更大的可变性，但仍将聚集在每个端点处原始模拟状态之间的直线段周围。然而，对于所有插值时间，样本方差的曲线图都为零，没有表现出可变性。
输入参数
输出参数
算法
该函数基于分段常数欧拉采样方法，对用户指定的时间序列数组执行布朗插值。
考虑向量值SDE的形式：
哪里：
X是一个NVars-借-
1.状态向量。F是一个NVars-借-
1.漂移率向量值函数。G是一个NVars-借-丁腈橡胶扩散速率矩阵值函数。
W是一个丁腈橡胶-借-
1.布朗运动向量。
给定用户指定的与此方程相关的时间序列数组，此函数通过从条件高斯分布采样来执行布朗（随机）插值。这种取样技术有时被称为布朗桥.
笔记
与模拟方法不同的是插值函数不支持用户指定的噪声处理。万博1manbetx
工具书类
[1] 测试即期利率的连续时间模型金融研究述评，1996年春季，第9卷，第2期，第385-426页。
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[4] 赫尔，J.C。期权、期货和其他衍生品，第五版。恩格尔伍德悬崖，新泽西州：普伦蒂斯大厅，2002年。
[5] 约翰逊，N.L.，S.Kotz和N.Balakrishnan。连续单变量分布。第二卷，第二版，纽约，约翰·威利父子出版社，1995年。
[6] 什里夫，S.E。金融随机演算II：连续时间模型。纽约：斯普林格·维拉格，2004年。
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