定义资产的整体

的dowPortfolio.xlsx数据集包括30个资产和一个基准。该数据集中的7项资产构成了本例中的投资范围。假设无风险利率为零。

T = readtable (“dowPortfolio.xlsx”）;

定义资产域并从价格数据中提取资产回报。

assetNames = [“AA”，“美国国际集团”，“京东商城”，“微软”，“BA”，“通用电气”，“IBM”];benchmarkName =“DJI”；头（T）（：[“日期”benchmarkName资产名称]）

ans =8×9表8日，AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA12 68.6 44.38 26.34 68.53 33.47 80.56 2006年1月06日10959 29.02 68.89 44.56 26.26 67.57 33.7 82.96 2006年1月09日1101229.37 68.57 44.4 26.21 67.01 33.61 81.76 2006年1月10日11012 28.44 69.18 44.54 26.35 67.33 33.43 82.1 11-Jan-2006 11043 28.05 69.6 45.23 26.63 68.33.66 82.19 12-Jan-2006 10962 27.68 69.04 44.43 26.48 67.9 33.25 81.61

retnsT = tick2ret(T(:， 2:end)); / /结束settns = retnsT(:， assetNames);benchRetn = retnsT (:,“DJI”）;numAssets = size(assetRetns, 2);

指定市场视图

这些观点代表了投资分析师对未来市场变化的主观看法，表示为 $\mathit{问}＝\mathit{P}*\mu +\epsilon ，\epsilon ～\mathit{N}（0，\Omega ），\Omega ＝\mathrm{诊断接头}（{\omega }_1，{\omega }_2，．．．{\omega }_{\mathit{v}}）$哪里v为浏览总数。有关更多信息，请参见附录部分假设和视图．与v视图和k资产, $\mathit{P}$是一个v——- - - - - -k矩阵 $\mathit{问}$是一个v-by-1向量，以及 $\Omega$是一个v——- - - - - -v对角矩阵(表示视图中的独立不确定性)。这些观点不一定要彼此独立，结构也不一定要 $\Omega$可以选择在视图中考虑投资分析师的不确定性[4］.越小 ${\omega }_{\mathit{我}}$在 $\Omega$的分布方差越小我观点越强或越确定的投资者我视图。这个例子假设有三个独立的视图。

v = 3;%共3个视图P = 0 (v, numAssets);Q = 0 (v, 1);ω= 0 (v);%的观点1P（1，资产名称）==“美国国际集团”) = 1;问(1)= 0.05;(1,1) = 1e-3;%视图2P（2，资产名称）==“京东商城”) = 1;问(2)= 0.03;(2,2) = 1e-3;%视图3P (3 assetNames = =“微软”) = 1;P (3 assetNames = =“IBM”)=1；q（3）=0.05；ω（3，3）=1e-5；

以表格形式可视化这三个视图。

viewTable = array2table([P q diag(Omega)]，“变化无常”, (assetNames“View_Return”“查看不确定性”]）

viewTable =3×9表AA AIG WMT MSFT BA GE IBM View_Return View_Uncertainty ________________ ______________ ________________ 01 00 00 0 0.05 0.001 001 00 00 0.03 0.001 00 01 00 0 -1 0.05 1e-05

因为它是从dowPortfolio.xlsx数据集是日报表和视图是在年报表，你必须转换视图为日报表。

bizyear2bizday = 1/252;q = q * bizyear2bizday;ω=ω* bizyear2bizday;

根据历史资产回报估计协方差

$\Sigma$是历史资产回报的协方差。

σ= x (assetRetns.Variables);

定义的不确定性C

Black-Litterman模型假设 $\mathit{C}$正比于协方差 $\Sigma$．因此, $\mathit{C}＝\tau \Sigma$哪里 $\tau$是一个小常数。一个更小的 $\tau$表示对先前的信念有较高的信心 $\mu$．He和Litterman的工作使用的值为0.025。其他作者建议使用1/n哪里n为生成协方差矩阵所用的数据点个数[3.］.本例使用1/n．

τ= 1 / (assetRetns大小。变量,1);C =στ*;

市场隐含均衡收益

在没有任何观点的情况下，均衡收益很可能等于均衡投资组合持有的隐含收益。在实践中，可适用的均衡投资组合持有可以是投资分析师在缺乏对市场的额外看法时所使用的任何最优投资组合，例如投资组合基准、指数甚至当前的投资组合[2］.在本例中，您使用线性回归来找到跟踪大疆基准回报率的市场组合。然后，你用市场投资组合作为均衡投资组合，均衡收益是由市场投资组合隐含的。的findMarketPortfolioAndImpliedReturn函数，在中定义本地函数，实现均衡收益。此函数将历史资产收益和基准收益作为输入，并输出市场投资组合和相应的隐含收益。

[wtsMarket, PI] = findmarketportfolioanddimpliedreturn (assetRetns。变量,benchRetn.Variables);

计算估计的平均收益和协方差

使用 $\mathit{P}，\mathit{问}，\Omega ，\pi ，$和 $\mathit{C}$使用Black-Litterman模型计算混合资产回报和方差。

你可以计算 $\stackrel{-}{\mu }$和 $\mathrm{浸}（\mu ）$直接使用这个矩阵运算:

$\stackrel{-}{\mu }＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{问}+{\mathit{C}}^{-1}\pi ］$， $\mathrm{浸}（\mu ）＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}$

mu_bl=（P'*（Omega\P）+inv（C））\（C\PI+P'*（Omega\q））；cov_mu=inv（P'*（Omega\P）+inv（C））；

比较Black-Litterman模型与预期收益先验信念的混合预期收益 $\pi$，你会发现Black-Litterman模型的预期收益实际上是先验信念和投资者观点的混合。例如，如下表所示，先前的信念假设微软和IBM的回报率相似，但在混合的预期回报率中，微软的回报率比IBM高出4%以上。出现这种差异的原因在于，人们普遍认为，微软的表现比IBM高出5%。

表(assetNames’,π* 252,mu_bl * 252,“变化无常”, (“Asset_Name”，...“Prior_Belief_of_Expected_Return”，“黑人\垃圾工\混合\预期\返回”]）

ans =7×3表该文的研究结果是一个UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢Uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuaa 0.19143 0.19012“AIG”0.14432 0.13303“WMT”0.15754 0.1408“MSFT”0.14071 0.17557“BA”0.21108 0.2017“GE”0.13323 0.12525“IBM”0.14816 0.12877

投资组合优化与结果

的投资组合对象实现了马科维茨均值方差投资组合优化框架。使用一个投资组合对象，你可以找到给定风险或回报水平下的有效投资组合，你也可以使夏普比率最大化。

使用估计最大值与投资组合对象为以下投资组合查找具有最大夏普比率的分配：

端口=组合(“纽马塞特”numAssets,“磅”, 0,“预算”1.“名字”，“平均方差”)；port=setAssetMoments（port，mean（assetRetns.Variables），Sigma）；wts=estimateMaxSharpeRatio（port）；portBL=Portfolio(“纽马塞特”numAssets,“磅”, 0,“预算”1.“名字”，“与黑人同窝狗的平均方差”）;portBL = setAssetMoments(portBL, mu_bl, Sigma + cov_mu);wtsBL = estimateMaxSharpeRatio (portBL);ax₁=情节(1、2、1);但是idx = > 0.001;派(ax₁,wts (idx), assetNames (idx));标题(ax₁,端口。的名字,“位置”， [-0.05, 1.6, 0]);ax2 =情节(1、2、2);idx_BL = wtsBL > 0.001;派(ax2 wtsBL (idx_BL), assetNames (idx_BL));标题(ax2 portBL。的名字,“位置”， [-0.05, 1.6, 0]);

表（资产名称、wts、wtsBL、，“变化无常”, (“AssetName”，“平均方差”，...“Mean_Variance_with_Black_Litterman”]）

ans =7×3表AssetName Mean_Variance Mean_Variance_with_Black_Litterman  _________ _____________ __________________________________ " AA“1.1823 e-16 0.1115”美国国际集团(AIG)“1.2052 e-17 0.23314”京东商城“4.6763 e-18 0.098048”微软0.059393 - 0.15824“BA”0.32068 - 0.10748“通用电气”1.576 e15汽油0.1772“IBM”0.61993 - 0.11439

当您在均值-方差优化中使用混合资产收益率和Black Litterman模型的协方差值时，最优配置直接反映了投资分析师的观点。如饼图所示，Black Litterman模型的配置更加多样化。此外，Bl中资产之间的权重ack-Litterman模型与投资分析师的观点一致。例如，当您将Black-Litterman结果与普通均值-方差优化结果进行比较时，您可以看到Black-Litterman结果对MSFT的投资比IBM更大。这是因为投资分析师强烈认为MSFT的表现将优于IBM。

本地函数

函数[wtsMarket, PI] = findmarketportfolioanddimpliedreturn (assetRetn, benchRetn)找出跟踪基准的市场投资组合及其相应的隐含预期回报。

隐含的回报是通过反向优化计算的。假设无风险利率为零。利用Markowitz优化问题给出了投资组合优化的一般公式: $$\underset{\omega }{\arg \mathrm{马克斯}}{\omega }^T\mu -\frac{\delta }{2}{\omega }^T\Sigma \omega$$．在这里 $$\omega$$是一个N-资产权重的元素向量， $$\mu$$是一个N-预期资产回报的要素向量， $$\Sigma$$是N——- - - - - -N资产收益协方差矩阵 $$\delta$$是一个正的风险规避参数 $\delta$，在没有约束的情况下，此问题的封闭形式解是 $$\omega ＝\frac{1}{\delta }{\Sigma }^{-1}\mu$$因此，对于市场投资组合，隐含的预期回报是 $$\pi ＝\delta \Sigma {\omega }_{米kt}$$．

要计算隐含的预期回报，您需要 $$\Sigma ，{\omega }_{米kt}，\delta$$．

1)找到 $$\Sigma$$．

$$\Sigma$$根据历史资产收益率计算。

σ= x (assetRetn);

2)找到市场组合。

要找到市场组合，逆大疆回归。强加的约束是完全投资和长期的: $$\underset{我＝1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_{我}＝1，0\le {\omega }_{我}，\forall 我\in ｛1，．．．，n｝$$

numAssets =大小(assetRetn, 2);磅= 0(1、numAssets);Aeq = 1(1、numAssets);说真的= 1;选择= optimoptions (“lsqlin”，“算法”，“内点”，“显示”，“关闭”)wtsMarket=lsqlin（资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表、资产负债表和资产负债表）；

3)找到 $$\delta$$．

两边同时乘以 $$\pi ＝\delta \Sigma {\omega }_{米kt}$$与 $${\omega }_{米kt}^T$$输出 $$\delta ＝\frac{\mathrm{年代}h\mathrm{一个}rpeR\mathrm{一个}t我o}{{\sigma }_{米}}$$．这里假设基准是夏普比率的最大值，用相应的值作为市场夏普比率。或者，你可以将夏普比率校准为0.5，这将导致shpr= 0.5 /√6(252) (1］. $${\sigma }_{米}$$为市场组合的标准差。

shpr =意味着(benchRetn) /性病(benchRetn);σδ= shpr /√wtsMarket ' * * wtsMarket);

4)计算隐含的预期收益。

假设市场投资组合在不受约束的情况下，隐含收益直接计算为 $$\pi ＝\delta \Sigma \omega$$．

π=δσ* * wtsMarket;结束

附录:贝叶斯框架下的Black-Litterman模型

假设和视图

假设投资领域是由k资产与资产收益向量 $\mathit{r}$是一个随机变量，遵循一个多元正态分布 $\mathit{r}～\mathit{N}（\mu ，\Sigma ）$． $\Sigma$为历史资产回报的协方差。未知的模型参数是预期收益 $\mu$．从贝叶斯统计的角度，Black-Litterman模型试图估计 $\mu$通过结合投资分析师的观点(或“对未来的观察”)和一些先验知识 $\mu$．

此外，假设先验知识 $\mu$是正态分布的随机变量吗 $\mu ～\mathit{N}（\pi ，\mathit{C}）$［1， 2］.在没有任何意见(观察)的情况下，先前的平均值 $\pi$很可能是均衡收益，隐含于均衡投资组合持有。在实践中，适用的均衡投资组合持有不一定是均衡投资组合，而是投资分析师在缺乏其他市场观点(如投资组合基准、指数甚至当前投资组合)的情况下会使用的目标最优投资组合。 $\mathit{C}$表示先验中的不确定性，Black-Litterman模型假设 $\mathit{C}$是 $\tau \Sigma$． $\tau$是一个小常数，许多作者使用不同的值。详细讨论 $\tau$可在[3.］.

为了进行统计推断，观测是必要的 $\mu$．在Black-Litterman模型中，观察结果是对在投资组合水平上表示的未来资产回报的看法。一个观点是一个投资组合的预期回报组成的宇宙k资产。通常，投资组合的回报具有不确定性，因此会添加一个误差项来捕捉偏差。假设总共有v意见。看一看 $\mathit{我}$， ${\mathit{p}}_{\mathit{我}}$是维度为1 x的行向量k, ${\mathit{问}}_{\mathit{我}}$是一个标量[2］.

${\mathit{问}}_{\mathit{我}}$＝ ${\rm E}［{\mathit{p}}_{\mathit{我}}*\mathit{r}|\mu ］+{\epsilon }_{\mathit{我}}，\mathit{我}＝1，2，．．．，\mathit{v}$

你可以把v垂直视图，以及 $\Omega$是所有视图中不确定性的协方差。假设不确定性是独立的。

$\mathit{问}＝{\rm E}［\mathit{P}*\mathit{r}|\mu ］+\epsilon ，\epsilon ～\mathit{N}（0，\Omega ），\Omega ＝\mathrm{诊断接头}（{\omega }_1，{\omega }_2，．．．{\omega }_{\mathit{v}}）$．

注意 $\Omega$不一定是对角矩阵。投资分析师可以选择结构 $\Omega$解释他们在观点中的不确定性[4］.

在之前的假设下 $\mathit{r}～\mathit{N}（\mu ，\Sigma ）$，这就引出了

$\mathit{问}＝\mathit{P}*\mu +\epsilon ，\epsilon ～\mathit{N}（0，\Omega ），\Omega ＝\mathrm{诊断接头}（{\omega }_1，{\omega }_2，．．．{\omega }_{\mathit{v}}）$．

Black-Litterman模型的贝叶斯定义

根据贝叶斯统计可知: $\mathrm{后}\propto \mathrm{可能性}*\mathrm{之前}$．

在Black-Litterman模型的背景下， $\mathrm{后}\propto \mathrm{可能性}*\mathrm{之前}$表示为 $\mathit{f}（\mu |\mathit{问}）$ $\propto$ $\mathit{f}（\mathit{问}|\mu ）$* $\mathit{f}（\mu ），$其中每个贝叶斯项的定义如下[2]：

如前所述，后验分布 $\mu$也是一个正态分布。通过完成平方，你可以得到后验均值和协方差 $\stackrel{-}{\mu }＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{问}+{\mathit{C}}^{-1}\pi ］$， $\mathrm{浸}（\mu ）＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}$．

最后，通过结合贝叶斯后验分布的方法 $\mu$以及资产回报模型 $\mathit{r}～\mathit{N}（\mu ，\Sigma ）$，则资产回报的后验预测为 $\mathit{r}～\mathit{N}（\stackrel{-}{\mu }，\Sigma +\mathrm{浸}（\mu ））$．

参考文献